Чектердин тизмеси

Бул чектердин тизмеси жана алардын негизги функциялары үчүн эсептөө эрежелери. Төмөндөгү мисалдарда a жана b салыштырмалуу константалар x.

Чектердин жалпы касиеттери

Болсун $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1$ Жана $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2$ . Анда:

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}$, эгерде $L_2\ne 0$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^a=L_1^a$, эгерде оң жактагы сан жана сол функциянын бардык маанилери чекиттин айланасында болсо, анда x=c бар.

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, эгерде $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$, же $\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=+\mathrm{\infty }$ (Лопиталдын Эрежеси)

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$ (туундунун аныктамасы)

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(e^{h}x)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

Белгилүү константалар менен байланышкан чектер

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$ (Непердин константасы) — Экинчи керемет чек

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\underset{n}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2}}}}}}=\pi$ (пи), эгерде ички радикал алмаштырылса $\sqrt{2}$-ден $\sqrt{3}$-кө, анда чек бирдей чыгат $\frac{2\pi }{3}$

$\underset{x\to c}{\lim }P(x)=P(c)$, кайда $P(x)$ — көп мүчө.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^r}=-\mathrm{\infty }$, эгерде r так болсо, жана $+\mathrm{\infty }$, эгерде r жуп болсо.

Логарифмдик жана көрсөткүчтүк функциялар

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=+\mathrm{\infty }$

Тригонометриялык функциялар

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ — Биринчи керемет чек

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n\pm 0}{\lim }\mathrm{tg}(\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }$, эгерде n — бүтүн сан.

Чексиздикке жакын чектер

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }a/x=0$, ар кандай реалдуу а.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ -\mathrm{\infty },& a<0\end{array}$ жана качан жок $a=0$ .

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ 1,& a=0\\ 0,& a<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>1\\ 1,& a=1\\ 0,& -1<a<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/a^x=0$ каалаган $a>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{a}=\{\begin{array}{cc}1,& a>0\\ 0,& a=0\end{array}$ жана эгерде жок $a<0$ .

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[a]{x}=\mathrm{\infty }$ каалаган $a>0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$