Аныкталбаган интеграл

Аныкталбаган интеграл — белгилүү аймакта берилген $f(x)$ функциясынын бардык $F(x)+c$ түрүндөгү баштапкы функцияларынын жыйындысы. $F(x)+c=$ түрүндөгү интеграл. Мында ∫ символу интеграл белгиси, $f(x)-$ интеграл астындагы функция, $f(x)dx$ — интеграл астындагы туюнтма, $F(x)$ функциясы $f(x)$ функциясынын баштапкы функциясы, C — туруктуу чоңдук.

$d(\int f(x)dx)=f(x)dx$

$\int d(F(x))=F(x)+C$

$\int a\cdot f(x)dx=a\cdot \int f(x)dx$

$\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$

Эгерде $\int f(x)dx=F(x)+C$, то и $\int f(u)du=F(u)+C$, бу жерде $u=\phi (x)$ — үзгүлтүксүз туундуга ээ эркин функция.

Дифференциал белгисине алып келүү

Дифференциал белгисине алып келүүдө төмөндөгүдөй касиеттер колдонулулат:

$du=d(u+C)$

$du=\frac{1}{a}d(au)$

$f^{\prime }(u)\cdot du=d(f(u))$

Интеграциялоонун негизги жолдору

1. Жаңы аргументти киргизүү методу Эгерде

$\int g(x)dx=G(x)+C,$

анда

$\int g(u)du=G(u)+C,$

бул жерде $u=\phi (x)$ — туруктуу дифференцияланычуу функция.

2. Ажыратуу методу. Эгерде

$g(x)=g_1(x)+g_2(x),$

анда

$\int g(x)dx=\int g_1(x)dx+\int g_2(x)dx.$

3. Алмаштыруу (ордуна койуу)методу.

Эгерде $g(x)$ — үзгүлтүксүз болсо, анда

$x=\phi (t),$ деген божомолдон алабыз,

бул жерде $\phi (t)$ туундусу менен бирге үзгүлтүксүз болсо ${\phi }^{\prime }(t)$, алабыз

$\int g(x)dx=\int g(\phi (t)){\phi }^{\prime }(t)dt.$

4. Бөлүп интеграциялоо методу.

Эгерде $u$ жана $v$ — $x$ кээ бир дифференциялануучу функциялары, анда

$\int udv=uv-\int vdu.$

Аныкталбаган интегралдардын жадыбалы

$\int 0\cdot dx=C;$

$\int 1\cdot dx=x+C;$

$\int x^{n}dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $(n\ne -1);$

$\int \frac{1}{x}dx=\ln \mid x\mid +C;$

$\int e^{x}dx=e^x+C;$

$\int a^{x}dx=\frac{a^x}{\ln a}+C,$ $(a>0,a\ne 1);$

$\int \cos xdx=\sin x+C;$

$\int \sin xdx=-\cos x+C;$

$\int \frac{dx}{{\cos }^{2}x}=\mathrm{t}\mathrm{g}x+C;$

$\int \frac{dx}{{\sin }^{2}x}=-\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+C;$

$\int \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C^{\prime }(C^{\prime }=\frac{\pi }{2}+C);$

$\int \frac{dx}{1+x^2}=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}x+C;$

$\int \mathrm{c}\mathrm{h}xdx=\mathrm{s}\mathrm{h}x+C;$

$\int \mathrm{s}\mathrm{h}xdx=\mathrm{c}\mathrm{h}x+C;$

Ар бир теңдеменин сол жагында интегралдын астындагы тийиштүү функциясы үчүн берилген эркин (аныкталган) баштапкы функция турат, оң жагында - функциялар арасындага теңдик аткарылышы үчүн бир аныкталган баштапкы функция жана $C$ константасы берилген.

Бул формуладагы баштапкы функциялар тийиштүү аймактагы интеграл астындагы функциялар үчүн аныкталган жана үзгүлтүксүз. Бул мыйзам ченемдүүлүк кокусунан эмес: жогоруда айтылгандай, аймактагы үзгүлтүксүз функция ал жерде үзгүлтүксүз жөнөкөйгө ээ.

Колдонулган адабияттар

• Математика: энциклопедиялык окуу куралы/ Мамлекеттик тил жана энциклопедия борбору. Бишкек, - 2004