"Чектердин тизмеси" барагынын кодун көрүү

Бул [[Предел|чектердин]] тизмеси жана алардын негизги функциялары үчүн эсептөө эрежелери. Төмөндөгү мисалдарда ''a'' жана ''b'' салыштырмалуу константалар ''x''.

== Чектердин жалпы касиеттери ==

: Болсун <math>\lim_{x \to c} f(x) = L_1</math> Жана <math>\lim_{x \to c} g(x) = L_2</math> . Анда:

:: <math>\lim_{x \to c} \, [f(x) \pm g(x)] = L_1 \pm L_2</math>
:: <math>\lim_{x \to c} \, [f(x)g(x)] = L_1 \times L_2</math>
:: <math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L_1}{L_2}</math>, эгерде <math>L_2 \ne 0</math>
:: <math>\lim_{x \to c} \, f(x)^a = L_1^a</math>, эгерде оң жактагы сан жана сол функциянын бардык маанилери чекиттин айланасында болсо, анда x=c бар.

: <math>\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}</math>, эгерде <math>\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} g(x) = 0</math>, же <math>\lim_{x \to c} |g(x)| = +\infty</math> ([[Лопиталдын Эрежеси]])

: <math>\lim_{h\to 0}{f(x+h)-f(x)\over h}=f'(x)</math> ([[Туунду|туундунун]] аныктамасы)

: <math>\lim_{h\to0}\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)^\frac{1}{h}=\exp\left(\frac{f'(x)}{f(x)}\right)</math>

: <math>\lim_{h \to 0}{ \left({f(e^h x)\over{f(x)}}\right)^{1\over{h}} }=\exp\left(\frac{x f'(x)}{f(x)}\right)</math>

== Белгилүү константалар менен байланышкан чектер ==

: <math>\lim_{x\to+\infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e</math> (Непердин константасы) — Экинчи керемет чек

: <math>\lim_{x\to+\infty} \left(1-\frac{1}{x}\right)^x=\frac{1}{e}</math>

: <math>\lim_{n\to\infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e</math>

: <math>\lim_{n\to \infty }\, 2^{n} \underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...} +\sqrt{2}}}}}_n= \pi</math> ([[пи]]), эгерде ички радикал алмаштырылса <math>\sqrt{2}</math>-ден <math>\sqrt{3}</math>-кө, анда чек бирдей чыгат <math>{2\pi\over3}</math>
{{Hidden|title=Далилдөө|content=Биринчи маанисин колдонуу кереметтүү чектери бар
:<math>\lim_{n\to\infty} 2^{n+1}\sin{\pi\over 2^{n+1}}=\lim_{m\to\infty}m\sin{\pi\over m}=\lim_{m\to\infty}\pi{\sin{\pi\over m}\over{\pi\over m}}=\pi</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;(1)
Себеби
:<math>\cos{x}=\sqrt{{1\over2}(1+\cos{2x})}, x\in\left(0,{\pi\over2}\right)</math>
бар
:<math>\cos{{\pi\over2^2}}=\sqrt{{1\over2}\left(1+\cos{{\pi\over2}}\right)}={1\over2}\sqrt{2}</math>
:<math>\cos{{\pi\over2^3}}=\sqrt{{1\over2}\left(1+\cos{{\pi\over4}}\right)}={1\over2}\sqrt{2+\sqrt{2}}</math>
:<math>\cos{{\pi\over2^4}}=\sqrt{{1\over2}\left(1+\cos{{\pi\over8}}\right)}={1\over2}\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}</math>
Математикалык индукция ыкмасын колдонуп, биз алабыз
:<math>\cos{\pi\over2^{n+1}}={1\over2}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n}, n\in\mathbb N</math>
Ушул жактан
:<math>\sin{\pi\over2^{n+1}}=\sqrt{1-\cos^2{\pi\over2^{n+1}}}=\sqrt{1-\left({1\over2}\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\dots\sqrt{2}}}}_{n}\right)^2}={1\over2}\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n}</math>
Бул туюнтманы (1) алмаштырып, биз алабыз
:<math>\lim_{n\to\infty} 2^{n+1}{1\over2}\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n} =\lim_{n\to\infty}2^n\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\dots+\sqrt{2}}}}_{n}=\pi </math> 
Муну далилдөө керек болчу. Ички радикалдын өзү үчүн<math>\sqrt{3}</math> вместо <math>\sqrt{2}</math> далил окшош, анын ордуна <math>2^{n+1}</math> алыш керек <math>3\cdot2^{n+1}</math>.}}

: <math>\lim_{x \to c} P(x) = P(c)</math>, кайда <math>P(x)</math> — [[көп мүчө]].

: <math>\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^r} = +\infty</math>

: <math>\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^r} = -\infty</math>, эгерде ''r'' [[так]] болсо, жана <math>+\infty</math>, эгерде ''r'' [[жуп]] болсо.

== [[Логарифм|Логарифмдик]] жана [[Экспоненциалдык функция|көрсөткүчтүк функциялар]] ==

:: <math>\lim_{x \to 0^+} \log_a x = -\infty</math>

:: <math>\lim_{x \to \infty} \log_a x = +\infty</math>

:: <math>\lim_{x \to -\infty} a^x = 0</math>

:: <math>\lim_{x \to \infty} a^x = +\infty</math>

== [[Тригонометриялык функциялар]] ==

: <math>\lim_{x \to a} \sin x = \sin a</math>

: <math>\lim_{x \to a} \cos x = \cos a</math>

: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1</math> — Биринчи керемет чек

: <math>\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x} = 0</math>

: <math>\lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^2} = \frac{1}{2}</math>

: <math>\lim_{x \to n\pm 0} \operatorname{tg} \left(\pi x + \frac{\pi}{2}\right) = \mp\infty</math>, эгерде n — [[Бүтүн сандар|бүтүн сан]].

== [[Чексиздик|Чексиздикке]] жакын чектер ==

: <math>\lim_{x\to\infty}a/x=0</math>, ар кандай реалдуу а.
: <math>\lim_{x\to\infty}x/a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ -\infty, & a < 0 \end{cases}</math> жана качан жок <math>a=0</math> .
: <math>\lim_{x\to\infty}x^a=\begin{cases} \infty, & a > 0 \\ 1, & a = 0 \\ 0, & a < 0 \end{cases}</math>
: <math>\lim_{x\to\infty}a^x=\begin{cases} \infty, & a > 1 \\ 1, & a = 1 \\ 0, & -1 < a < 1 \end{cases}</math>
: <math>\lim_{x\to\infty}a^{-x}=\lim_{x\to\infty}1/a^{x}=0</math> каалаган <math>a > 1</math>
: <math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[x]{a}=\begin{cases} 1, & a > 0 \\ 0, & a = 0\end{cases}</math> жана эгерде жок <math>a < 0</math> .
: <math>\lim_{x\to\infty}\sqrt[a]{x}= \infty </math> каалаган <math>a > 0 </math>
: <math>\lim_{x\to\infty}\log x=\infty</math>
: <math>\lim_{x\to0^+}\log x=-\infty</math>
[[Категория:Математикалык анализ]]