Лопиталдын Эрежеси

Лопитал теоремасы (же Бернулли — Лопитал эрежеси) — табуу ыкмасы функциянын чектери, белгисиздикти ачыкка чыгаруу түрү $0/0$ жана $\mathrm{\infty }/\mathrm{\infty }$. Методду негиздеген теоремада белгилүү бир шарттарда функциялардын катышынын чеги алардын туундуларынын катышынын чегине барабар болот деп айтылат.

Так сөз

Лопитал теоремасы:

Эгерде: $f(x),g(x)$ тешилген аймакта дифференциалдануучу реалдуу баалуу функциялар $U$ упайлар $a$, кайда $a$ — чыныгы сан же символдордун бири $+\mathrm{\infty },-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$, жана

1. $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\underset{x\to a}{\lim }g(x)=0$ же $\mathrm{\infty }$;
2. $g^{\prime }(x)\ne 0$ - жылы $U$;
3. бар $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$;

ошондо бар $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$.

Чектер бир тараптуу болушу мүмкүн.

Тарых

Мындай белгисиздикти жоюунун жолу 1696-жылы «Analyse des Infiniment Petits» окуу китебинде авторлуктун артында жарыяланган Гийома Лопитала. Методду Лопиталга катында ачкан адам билдирген Иоганн Бернулли.

Мисалдар

• $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2+5x}{3x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x+5}{3}=\frac{5}{3}$

• $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^3+4x^2+7x+9}{x^3+3x^2}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3x^2+8x+7}{3x^2+6x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{6x+8}{6x+6}=\frac{6}{6}=1$
  Бул жерде Лопитал эрежесин 3 жолу колдонсоңуз болот, бирок башкача кылсаңыз болот. Алымды да, бөлүүчүнү да бөлүү керек $x$ эң жогорку деңгээлде(биздин учурда $x^3$). Бул мисалда алынган:

  $\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+4/x+7/x^2+9/x^3}{1+3/x}=\frac{1}{1}=1$

• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{x^a}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{a\cdot x^{a-1}}=\dots =\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{e^x}{a!}=+\mathrm{\infty }$  — эрежени колдонуу $a$ жолу;
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^a}{\ln x}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a{x}^{a-1}}{\frac{1}{x}}=a\cdot \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{x}^a=+\mathrm{\infty }$ учурда $a>0$;
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\underset{x}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t^2}dt}{x^{-1}{e}^{-x^2}}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{-e^{-x^2}}{-x^{-2}{e}^{-x^2}(1+2x^2)}=\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\frac{x^2}{1+2x^2}=\frac{1}{2}$.

Кээ бир учурларда, Лопитал эрежеси күтүлгөн натыйжаны бербеши мүмкүн, анткени туунду мамилелердин чектеринин болушу $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$ функциялардын өз ара катышы боюнча чектин болушунан келип чыкпайт.

Мисал  :

мамиле $\frac{x+\sin (x)}{x}$ чексиздиктин чеги бар (бирдик), бирок туундулардын катышында чек жок.

Натыйжа

Лопитал эрежесинин жөнөкөй, бирок пайдалуу натыйжасы — функциялардын дифференциалдануу белгиси төмөнкүлөрдөн турат:

Функция болсун $f(x)$ тешилген кварталда айырмаланат чекит $a$, жана ушул учурда, ал үзгүлтүксүз жана туунду чеги бар $\underset{x\to a}{\lim }{f}^{\prime }(x)=A$. Анда функция $f(x)$ дифференциалдуу жана өзүндө $a$, жана $f^{\prime }(a)=A$ (анда, туунду $f^{\prime }(x)$ үзгүлтүксүз $a$).

Далил үчүн Лопитал эрежесин мамилеге колдонуу жетиштүү $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$.

Дагы караңыз

Чыныгы сандардын ырааттуулугу үчүн Лопитал эрежесинин аналогу болуп саналат Столцтун Теоремасы.

Адабият

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. I. — 680 с. — ISBN 5-9221-0156-0.