"Чексиз логика" барагынын кодун көрүү

'''Чексиз логика''' - бул чексиз узун билдирүүлөргө жана/же чексиз узун далилдерге мүмкүндүк берген [[Аксиоматикалык метод|логика]] . <ref>{{Cite book|title=Structures and Norms in Science|last=Moore|first=Gregory H.|date=1997|publisher=Springer-Science+Business Media|isbn=978-94-017-0538-7|editor-last=Dalla Chiara|editor-first=Maria Luisa|editor-link=Maria Luisa Dalla Chiara|pages=105–123|chapter=The prehistory of infinitary logic: 1885–1955|doi=10.1007/978-94-017-0538-7_7|editor-last2=Doets|editor-first2=Kees|editor-last3=Mundici|editor-first3=Daniele|editor-last4=van Benthem|editor-first4=Johan|editor-link4=Johan van Benthem (logician)}}</ref> Концепция 1930-жылдары Зермело тарабынан киргизилген. 

Кээ бир чексиз логика биринчи даражадагы стандарттык логикадан башка касиеттерге ээ болушу мүмкүн. Атап айтканда, чексиз логика компакт же толук болбой калышы мүмкүн. Чектүү логикада эквиваленттүү болгон компакттуулук жана толуктук түшүнүктөрү кээде чексиз логикада андай эмес. Ошондуктан чексиз логика үчүн күчтүү компакттуулук жана күчтүү толуктук түшүнүктөрү аныкталат. Бул макала Гильберт тибиндеги чексиз логикага кайрылат, анткени алар кеңири изилденген жана чектүү логиканын эң жөнөкөй кеңейтүүлөрүн түзөт. Бирок булар иштелип чыккан же изилденген жалгыз чексиз логика эмес.

Ω-логика деп аталган белгилүү бир чексиз логиканын толук экендигин эске алуу , континуум гипотезасына жарык чачууга убада берет. <ref>{{Cite book|title=Set Theory, Arithmetic, and Foundations of Mathematics: Theorems, Philosophies|last=Woodin|first=W. Hugh|date=2011|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-511-91061-6|editor-last=Kennedy|editor-first=Juliette|editor-link=Juliette Kennedy|pages=13–42|chapter=The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω Conjecture|doi=10.1017/CBO9780511910616.003|author-link=W. Hugh Woodin|access-date=1 March 2024|editor-last2=Kossak|editor-first2=Roman|chapter-url=https://dokumen.tips/documents/the-continuum-hypothesis-the-generic-multiverse-of-logic-continuum-hypothesis.html|archive-date=2024-03-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20240301200503/https://dokumen.tips/documents/the-continuum-hypothesis-the-generic-multiverse-of-logic-continuum-hypothesis.html|dead-url=yes}}</ref>

== Белгилөө жана тандоо аксиомасы жөнүндө сөз ==
Чексиз узун формулалары бар тил берилип жаткандыктан, мындай формулаларды ачык жазуу мүмкүн эмес. Бул көйгөйдү чечүү үчүн, катаал айтканда, расмий тилге кирбеген бир катар нотациялык ыңгайлуулуктар колдонулат. <math>\cdots</math> чексиз узун сөз айкашын көрсөтүү үчүн колдонулат. Түшүнүксүз болсо, ырааттуулуктун узундугу кийин белгиленет. Бул белги түшүнүксүз же түшүнүксүз болуп калган жерде, мисалы, суффикс <math>\bigvee_{\gamma < \delta}{A_{\gamma}}</math> Кардиналдуулуктун формулаларынын жыйындысы боюнча чексиз дизъюнкцияны көрсөтүү үчүн колдонулат <math>\delta</math> . Ушул эле белгилөө, мисалы, кванторлорго да колдонулушу мүмкүн <math>\forall_{\gamma < \delta}{V_{\gamma}:}</math> . Бул кванторлордун чексиз ырааттуулугун көрсөтүү үчүн арналган: ар бири үчүн квантор <math>V_{\gamma}</math> кайда <math>\gamma < \delta</math> .

Суффикстердин бардык колдонулушу жана <math>\cdots</math> формалдуу чексиз тилдердин бир бөлүгү эмес.

Тандоо аксиомасы болжолдонот (чексиз логиканы талкуулоодо көп учурда жасалгандай), анткени бул акылга сыярлык бөлүштүрүүчү мыйзамдарга ээ болуу үчүн зарыл.

== Гильберт тибиндеги чексиз логикалардын аныктамасы ==
Биринчи даражадагы чексиз тил ''L'' <sub>''α'', ''β''</sub>, ''α'' регулярдуу, ''β'' = 0 же ω ≤ ''β'' ≤ ''α'', акыркы логика сыяктуу эле символдордун жыйындысына ээ жана акыркы логиканын формулаларын түзүү үчүн бардык эрежелерди колдоно алат кээ бир кошумчалар:

* Формулалардын жыйындысы берилген <math>A=\{A_\gamma | \gamma < \delta <\alpha \}</math> анда <math>(A_0 \lor A_1 \lor \cdots)</math> жана <math>(A_0 \land A_1 \land \cdots)</math> формулалар болуп саналат. (Ар бир учурда ырааттуулуктун узундугу бар <math>\delta</math> .)
* Өзгөрмөлөрдүн жыйындысы берилген <math>V=\{V_\gamma | \gamma< \delta < \beta \}</math> жана формула <math>A_0</math> анда <math>\forall V_0 :\forall V_1 \cdots (A_0)</math> жана <math>\exists V_0 :\exists V_1 \cdots (A_0)</math> формулалар болуп саналат. (Ар бир учурда кванторлордун ырааттуулугу узундукка ээ <math>\delta</math> .)

Эркин жана чектелген өзгөрмөлөр түшүнүктөрү чексиз формулаларга бирдей колдонулат. Чектүү логикада болгондой эле, бардык өзгөрмөлөрү байланган формула ''сүйлөм'' деп аталат.

Чексиз тилдеги ''Т'' теориясы <math>L_{\alpha, \beta}</math> логикада сүйлөмдөрдүн жыйындысы болуп саналат. ''Т'' теориясынын чексиз логикасында далил төмөнкү шарттарга баш ийген билдирүүлөрдүн (мүмкүн чексиз) ырааттуулугу болуп саналат: Ар бир пикир же логикалык аксиома, ''T'' элементи болуп саналат, же тыянак эрежеси аркылуу мурунку билдирүүлөрдөн чыгарылат. Мурдагыдай эле, акыркы логикада корутундунун бардык эрежелери кошумча менен бирге колдонулушу мүмкүн:

* Билдирүүлөрдүн жыйындысы берилген <math>A=\{A_\gamma | \gamma < \delta <\alpha \}</math> далилде, андан кийин билдирүүдө мурда болгон <math>\land_{\gamma < \delta}{A_{\gamma}}</math> тыянак чыгарууга болот. {{Sfn|Karp|1964|pp=39–54}}

Чексиз логикага мүнөздүү логикалык аксиома схемалары төмөндө келтирилген. Глобалдык схема өзгөрмөлөрү: <math>\delta</math> жана <math>\gamma</math> ушундай <math>0 < \delta < \alpha </math> .

* <math>((\land_{\epsilon < \delta}{(A_{\delta} \implies A_{\epsilon})}) \implies (A_{\delta} \implies \land_{\epsilon < \delta}{A_{\epsilon}}))</math>
* Ар бирине <math>\gamma < \delta</math>, <math>((\land_{\epsilon < \delta}{A_{\epsilon}}) \implies A_{\gamma})</math>
* Чангдын бөлүштүрүүчү мыйзамдары (ар бир <math>\gamma</math> ): <math>(\lor_{\mu < \gamma}{(\land_{\delta < \gamma}{A_{\mu, \delta}})})</math>, кайда <math>\forall \mu \forall \delta \exists \epsilon < \gamma: A_{\mu, \delta} = A_{\epsilon}</math> же <math>A_{\mu, \delta} = \neg A_{\epsilon}</math>, жана <math>\forall g \in \gamma^{\gamma} \exists \epsilon < \gamma: \{A_{\epsilon}, \neg A_{\epsilon}\} \subseteq \{A_{\mu, g(\mu)} : \mu < \gamma\}</math>
* үчүн <math>\gamma < \alpha</math>, <math>((\land_{\mu < \gamma}{(\lor_{\delta < \gamma}{A_{\mu, \delta}})}) \implies (\lor_{\epsilon < \gamma^{\gamma}}{(\land_{\mu < \gamma}{A_{\mu ,\gamma_{\epsilon}(\mu)})}}))</math>, кайда <math>\{\gamma_{\epsilon}: \epsilon < \gamma^{\gamma}\}</math> жакшы заказ болуп саналат <math>\gamma^{\gamma}</math>

Акыркы эки аксиома схемасы тандоо аксиомасын талап кылат, анткени кээ бир топтомдор жакшы иреттелиши керек. Акыркы аксиома схемасы керексиз, анткени Чангдын бөлүштүрүүчү мыйзамдары аны көрсөтүп турат <ref>{{Cite journal|last=Chang|first=C. C.|author-link=Chen Chung Chang|date=1957|title=On the representation of α-complete Boolean algebras|pages=208–218|doi=10.1090/S0002-9947-1957-0086792-1|access-date=free}}</ref>, бирок ал логиканын табигый алсыздыктарына жол берүүнүн табигый жолу катары киргизилген.

== Толук, компакттуулук жана күчтүү толуктук ==
Теория - бул сүйлөмдөрдүн ар кандай жыйындысы. Моделдердеги сөздөрдүн чындыгы рекурсия менен аныкталат жана экөө тең аныкталган акыркы логика үчүн аныктама менен макул болот. Берилген ''Т'' теориясына сүйлөм ''Т'' теориясынын бардык моделдеринде туура болсо, ''Т'' теориясы үчүн жарактуу деп айтылат.

Тилдеги логика <math>L_{\alpha, \beta}</math> Ар бир моделде жарактуу ар бир ''S'' сүйлөмү үчүн ''S'' далили бар болсо, толук болот. Эгерде кандайдыр бир ''T'' теориясы үчүн Т-да жарактуу ар бир ''S'' сүйлөмү үчүн ''Т'' ''-'' дан ''Sдын'' далили бар болсо, анда ал толугу менен толук болот. Чексиз логика толук эмес, толук болушу мүмкүн.

Кардинал <math>\kappa \neq \omega</math> ар бир теория ''Т'' үчүн алсыз компакттуу <math>L_{\kappa, \kappa}</math> көп камтыган <math>\kappa</math> көптөгөн формулалар, эгерде ар бир ''С'' <math>\subseteq</math> караганда кардиналдуулуктун ''Т'' <math>\kappa</math> модели бар, анда ''Т'' модели бар. Кардинал <math>\kappa \neq \omega</math> ар бир теория үчүн ''T'' in болгондо күчтүү компакттуу <math>L_{\kappa, \kappa}</math>, өлчөмү боюнча чектөөсүз, эгерде ар бир ''С'' <math>\subseteq</math> караганда кардиналдуулуктун ''Т'' <math>\kappa</math> модели бар, анда ''Т'' модели бар.

== Чексиз логикада туюнтулган түшүнүктөр ==
[[Көптүктөр теориясы|Көптүктөр теориясынын]] тилинде төмөнкү жобо негизди билдирет:

: <math>\forall_{\gamma < \omega}{V_{\gamma}:} \neg \land_{\gamma < \omega}{V_{\gamma +} \in V_{\gamma}}.\,</math>

Фонддун аксиомасынан айырмаланып, бул билдирүү эч кандай стандарттуу эмес чечмелөөгө жол бербейт. Негизделгендик түшүнүгүн жеке билдирүүдө чексиз көп сандык аныктоочуларга жол берген логикада гана туюндуруу мүмкүн. Натыйжада, көптөгөн теориялар, анын ичинде Пиано арифметикасы, акыркы логикада туура аксиоматташтырууга мүмкүн эмес, ылайыктуу чексиз логикада болушу мүмкүн. Башка мисалдарга [[Архимед аксиомасы|архимеддик эмес талаалардын]] жана бурулуусу жок топтордун теориялары кирет. <ref>{{Cite web|url=https://arxiv.org/abs/1003.0360|last=Rosinger|first=Elemer E.|date=2010|title=Four departures in Mathematics and Physics}}</ref> </link><sup class="noprint Inline-Template noprint noexcerpt Template-Fact" style="white-space:nowrap;">&#x5B; ''<nowiki><span title="This claim needs references to better sources. (January 2021)">жакшы<span typeof="mw:Entity">&</nowiki>nbsp;<nowiki></span></nowiki>булак<nowiki><span typeof="mw:Entity">&</nowiki>nbsp;<nowiki></span></nowiki>зарыл<nowiki></span></nowiki>'' &#x5D;</sup> Бул үч теорияны чексиз сандык аныктоону колдонбостон аныктоого болот; чексиз түйүндөр <ref>{{Cite journal|last=Bennett|first=David W.|date=1980|title=Junctions|access-date=free}}</ref> гана керек.

Эсептелүүчү тилдер үчүн чындык предикаттары аныкталат <math>\mathcal L_{\omega_1,\omega}</math> . 

Эки чексиз логика толуктугу менен өзгөчөлөнүп турат. Бул логика <math>L_{\omega, \omega}</math> жана <math>L_{\omega_1, \omega}</math> . Биринчиси стандарттуу биринчи даражадагы логика, ал эми экинчиси эсептелүүчү өлчөмдөгү билдирүүлөргө гана уруксат берген чексиз логика.

логикасы <math>L_{\omega, \omega}</math> да катуу толук, компакттуу жана катуу компакттуу.

логикасы <math>L_{\omega_1, \omega}</math> компакттуу боло албайт, бирок ал толук (жогоруда берилген аксиомалардын астында). Мындан тышкары, ал Крейг интерполяция касиетинин вариантын канааттандырат.

Эгерде логика <math>L_{\alpha, \alpha}</math> катуу толук (жогоруда берилген аксиомалардын астында) анда <math>\alpha</math> абдан компакттуу (анткени бул логикадагы далилдер колдоно албайт <math>\alpha</math> же берилген аксиомалардын көбү).

== Шилтемелер ==

# {{cite book|title=Structures and Norms in Science|last=Moore|first=Gregory H.|date=1997|publisher=Springer-Science+Business Media|isbn=978-94-017-0538-7|editor-last1=Dalla Chiara|editor-first1=Maria Luisa|editor-link1=Maria Luisa Dalla Chiara|pages=105–123|chapter=The prehistory of infinitary logic: 1885–1955|doi=10.1007/978-94-017-0538-7_7|editor-last2=Doets|editor-first2=Kees|editor-last3=Mundici|editor-first3=Daniele|editor-last4=van Benthem|editor-first4=Johan|editor-link4=Johan van Benthem (logician)}}
# {{cite journal|last=Kanamori|first=Akihiro|author-link=Akihiro Kanamori|date=2004|title=Zermelo and set theory|url=https://math.bu.edu/people/aki/10.pdf|journal=The Bulletin of Symbolic Logic|volume=10|issue=4|pages=487–553|doi=10.2178/bsl/1102083759|access-date=22 August 2023}}
# {{cite book|title=Set Theory, Arithmetic, and Foundations of Mathematics: Theorems, Philosophies|last=Woodin|first=W. Hugh|date=2011|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-511-91061-6|editor-last1=Kennedy|editor-first1=Juliette|editor-link1=Juliette Kennedy|pages=13–42|chapter=The Continuum Hypothesis, the generic-multiverse of sets, and the Ω Conjecture|doi=10.1017/CBO9780511910616.003|author-link=W. Hugh Woodin|access-date=1 March 2024|editor-last2=Kossak|editor-first2=Roman|chapter-url=https://dokumen.tips/documents/the-continuum-hypothesis-the-generic-multiverse-of-logic-continuum-hypothesis.html|archive-date=2024-03-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20240301200503/https://dokumen.tips/documents/the-continuum-hypothesis-the-generic-multiverse-of-logic-continuum-hypothesis.html|dead-url=yes}}
# {{cite journal|last=Chang|first=C. C.|author-link=Chen Chung Chang|date=1957|title=On the representation of α-complete Boolean algebras|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]]|volume=85|issue=1|pages=208–218|doi=10.1090/S0002-9947-1957-0086792-1|doi-access=free}}
# {{cite web|url=https://arxiv.org/abs/1003.0360|last=Rosinger|first=Elemer E.|date=2010|title=Four departures in Mathematics and Physics|arxiv=1003.0360|citeseerx=10.1.1.760.6726}}
# {{cite journal|last=Bennett|first=David W.|date=1980|title=Junctions|journal=[[Notre Dame Journal of Formal Logic]]|volume=21|issue=1|pages=111–118|doi=10.1305/ndjfl/1093882943|doi-access=free}}
# {{cite web|url=https://logic.amu.edu.pl/images/9/95/Pogonowski10vi2010.pdf|title=Inexpressible longing for the intended model|last=Pogonowski|first=Jerzy|date=10 June 2010|website=Zakład Logiki Stosowanej|publisher=[[Adam Mickiewicz University in Poznań|Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu]]|page=4|access-date=1 March 2024|accessdate=2024-05-04|archivedate=2024-05-24|archiveurl=https://web.archive.org/web/20240524124350/https://logic.amu.edu.pl/images/9/95/Pogonowski10vi2010.pdf}}
{{Булактар}}

== Булактар ==

* {{Cite book|title=Languages with Expressions of Infinite Length|last=Karp|first=Carol R.|date=1964|publisher=North-Holland Publishing Company|isbn=978-0-444-53401-9|doi=10.1016/S0049-237X(08)70423-3|author-link=Carol Karp}}
* {{Cite journal|last=Barwise|first=Jon|author-link=Jon Barwise|date=1969|title=Infinitary logic and admissible sets|doi=10.2307/2271099}}
[[Категория:Pages with unreviewed translations]]