"Лопиталдын Эрежеси" барагынын кодун көрүү

'''Лопитал теоремасы''' (же ''[[Бернулли, Иоганн|Бернулли]] — [[Лопитал, Гийом Франсуа|Лопитал]] эрежеси''<ref>{{Cite web|url=http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf|title=Архивделген көчүрмө|deadlink=no|accessdate=2023-12-23|archivedate=2009-02-06|archiveurl=https://web.archive.org/web/20090206121807/http://lib.mexmat.ru/pr/matan_gavr_1.pdf}}</ref>) — табуу ыкмасы [[Функциянын чеги|функциянын чектери]], [[Белгисиздикти ачуу|белгисиздикти ачыкка чыгаруу]] түрү <math>0/0</math> жана <math>\infty/\infty</math>. Методду негиздеген теоремада белгилүү бир шарттарда [[Функция|функциялардын]] катышынын чеги алардын [[Туунду|туундуларынын]] катышынын чегине барабар болот деп айтылат.

== Так сөз ==
Лопитал теоремасы:

Эгерде: <math>f(x),\, g(x)</math> тешилген аймакта дифференциалдануучу реалдуу баалуу функциялар <math>U</math> упайлар <math>a</math>, кайда <math>a</math> — чыныгы сан же символдордун бири <math>+\infty, - \infty, \infty</math>, жана

# <math>\lim_{x\to a}{f(x)}=\lim_{x\to a}{g(x)}=0</math> же <math>\infty</math>;
# <math>g'(x)\neq 0</math> - жылы <math>U</math>;
# бар <math>\lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math>;

ошондо бар <math>\lim\limits_{x\to a}{\frac{f(x)}{g(x)}} = \lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math>.

Чектер бир тараптуу болушу мүмкүн.

== Тарых ==
Мындай белгисиздикти жоюунун жолу 1696-жылы  «Analyse des Inﬁniment Petits» окуу китебинде авторлуктун артында жарыяланган [[Лопитал, Гийом|Гийома Лопитала]]. Методду Лопиталга катында ачкан адам билдирген [[Бернулли, Иоганн|Иоганн Бернулли]]<ref> Paul J. Nahin, An Imaginary Tale: The Story of <math>\sqrt{-1}</math>, p.216</ref>.

== Мисалдар ==

* <math>\lim_{x \to 0}\frac{x^2+5x} {3x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x+5} {3} = \frac{5} {3}</math>

* <math>\lim_{x \to \infty}\frac{x^3+4x^2+7x+9} {x^3+3x^2} = \lim_{x \to \infty}\frac{3x^2+8x+7} {3x^2+6x}= \lim_{x \to \infty}\frac{6x+8} {6x+6}= \frac{6} {6}=1</math><br />Бул жерде Лопитал эрежесин 3 жолу колдонсоңуз болот, бирок башкача кылсаңыз болот. Алымды да, бөлүүчүнү да бөлүү керек <math>x</math> эң жогорку деңгээлде(биздин учурда <math>x^3</math>). Бул мисалда алынган:
*: <math>\lim_{x \to \infty}\frac{1+4/x+7/x^2+9/x^3} {1+3/x} = \frac{1} {1} = 1</math>
* <math>\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{x^{a}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a\cdot x^{a-1}}}=\ldots=\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^{x}}{a!}}=+\infty</math>  — эрежени колдонуу <math>a</math> жолу;
* <math>\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^{a}}{\ln{x}}}=\lim_{x\to+\infty}{\frac{ax^{a-1}}{\frac{1}{x}}}=a\cdot\lim_{x\to+\infty}{x^{a}}=+\infty</math> учурда <math>a>0</math>;
* <math>\lim_{x\to+\infty}\frac{\int\limits_{x}^{+\infty}e^{-t^2}dt}{x^{-1}e^{-x^2}} = \lim_{x\to+\infty}\frac{-e^{-x^2}}{-x^{-2}e^{-x^2}(1+2x^2)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2}{1+2x^2} = \frac{1}{2}</math>.

Кээ бир учурларда, Лопитал эрежеси күтүлгөн натыйжаны бербеши мүмкүн, анткени туунду мамилелердин чектеринин болушу <math>\lim\limits_{x\to a}{\frac{f'(x)}{g'(x)}}</math> функциялардын өз ара катышы боюнча чектин болушунан келип чыкпайт.

Мисал <ref>{{YouTube|lJmJ36JRLKA|Лопитал эрежесин качан колдонууга болбойт}}</ref> :

: мамиле <math>\frac{x+\sin(x)}{x}</math> чексиздиктин чеги бар (бирдик), бирок туундулардын катышында чек жок.

== Натыйжа ==
Лопитал эрежесинин жөнөкөй, бирок пайдалуу натыйжасы — функциялардын дифференциалдануу белгиси төмөнкүлөрдөн турат:

Функция болсун <math>f(x)</math> тешилген кварталда айырмаланат чекит <math>a</math>, жана ушул учурда, ал үзгүлтүксүз жана туунду чеги бар <math>\lim_{x\to a}f'(x) = A</math>. Анда функция <math>f(x)</math> дифференциалдуу жана өзүндө <math>a</math>, жана <math>f'(a)=A</math> (анда, туунду <math>f'(x)</math> үзгүлтүксүз <math>a</math>).

Далил үчүн Лопитал эрежесин мамилеге колдонуу жетиштүү <math>\frac{f(x)-f(a)}{x-a}</math>.

== Дагы караңыз ==
Чыныгы сандардын ырааттуулугу үчүн Лопитал эрежесинин аналогу болуп саналат [[Столцтун Теоремасы]].

== Эскертүүлөр ==
{{Булактар}}

== Адабият ==

* [[Фихтенгольц Г. М.]] Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — Т. I. — 680 с. — <nowiki>ISBN 5-9221-0156-0</nowiki>.
[[Категория:Математикалык анализ]]